Страхование инвестиционного портфеля (снижение рисков) с помощью Black–Scholes Option model. Пример в Excel

Написано admin в Январь 14, 2012. Опубликовано в Рынок ценных бумаг

Страхование на растущем рынке

Модель ценообразования опционов (Option Pricing Model, OPT) может быть эффективно использована  для любых производных финансовых инструментов. Вывод формулы ценообразования опционов позволили на практике  использовать их преимущества, об этом свидетельствует небывалый рост объема торгов по производным ценным бумагам.  Модель Блэка- Шоулза основывается на следующих предположениях:

  1. Дивиденды не выплачиваются по базовому активу опциона колл;
  2. Нет транзакционных издержек, связанных с продажей или покупкой акций или опциона;
  3. Безрисковая процентная ставка постоянная и не меняется со временем;
  4. Разрешение короткой продажи без ограничений;
  5. Опцион колл исполняется только к по истечению срока опциона;
  6. Доходности ценных бумаг подчинены логнормальному закону распределения (очень важное предположение!).

Использование опционов позволяет минимизировать возможные риски неблагоприятного изменения курсовой стоимости. Для того что бы застраховать базовый актив необходимо купить опцион, можно сказать, что цена опциона представляет собой некоторую надбавку к первоначальной стоимости базового актива.  Формула расчета цены опциона «колл» представлена ниже:

Формула опциона колл

где: S – цена базового актива; Х – цена исполнения опциона; T –срок погашения опциона; r- процентная ставка; σ –стандартное отклонение доходностей акций; N – величина стандартного нормального распределения.

По теореме о паритете «пут-колл», что бы рассчитать стоимость опциона «пут» с тем же базовым активом и тем же сроком исполнения воспользуемся формулой:
Стоимость опциона пут
На практике часто случается ситуация, когда на рынке нет подходящего опциона «пут» для нашего базового актива, так же иногда возникает необходимость застраховать не один актив, например акцию, а целый инвестиционный портфель. На индексные портфели, которые повторяют динамику рыночного индекса (RTSI, S&P&100, S&P500 ) скорей всего найдутся  соответствующие опционы, но для большинства инвестиционных портфелей их нет.

Для того, что бы решить данную проблему воспользуемся моделью ценообразования опционов Блека – Шоулза (Скоулза). Как мы помним, опцион «пут» представляет собой совокупность базового актива (инвестиционный портфель) и безрисковой ценной бумаги, где доли вложенных средств в этот портфель постоянно корректируются. Под безрисковыми ценными бумагами будем подразумевать вложения в облигации.

И так, попробуем смоделировать страхование инвестиционного портфеля, используя модель ценообразования Блека- Шоулза, где в соответствии ей будем распределять средства нашего инвестиционного портфеля между акциями  и облигациями.

Предположим мы располагаем капиталом в1000$ и решаемся вложится в акцию(инвестиционный портфель) на срок 1 год. Сейчас акция стоит 56$, смоделируем страхование вложения в акцию, что бы по истечению одного года стоимость акции составила не менее 50$.  Так же предположим, что на рынке нет опционов, дающих нам такое страхование. Поэтому создадим собственный опцион за счет вложения средств в акции и безрисковые облигации. Безрисковая процентная ставка составляет 8%. Волатильность акций составляет 30%.

Для облегчения расчетов воспользуемся пакетом Excel.  Для расчета доли вложения в акции воспользуемся формулой:
Доля акции в портфеле
Для расчета долей облигаций в нашем инвестиционном портфеле необходимо 1-w0.
Рассчитаем стоимость опциона «пут»(P0) и другие необходимые переменные по приведенным в начале статьи формулам.

S= первоначальная стоимость акции;
Х= цена исполнения опциона;
Т= срок исполнения опциона;
r= процентная ставка по безрисковым облигациям;
Sigma = волатильность акции;

d1= (LN(C2/C3)+(C5+0.5*C6^2)*C4)/(C6*КОРЕНЬ(C4));
d2=C8-C6*КОРЕНЬ(C4);
N(d1) =НОРМСТРАСП(C8);
N(d2) =НОРМСТРАСП(C9);
Цена опциона «колл»=C2*C11-C3*EXP(-C5*C4)*C12;
Цена опциона «пут»= C14-C2+C3*EXP(-C5*C4);
W0  =C2*C11/(C2+C15) - доля капитала вложенного в акции.

Расчет стоимости опциона Excel

Далее рассчитаем размер инвестированного капитала в акции и облигации. Данные по курсу акции на начало недели, конец недели, d1  и омеги (W0) заносим в таблицу. Так как вначале мы располагали 1000$, то в акции необходимо будет вложить Н20*W0 средств, объем средств по облигациям составит (1-W0)*Н20. К концу недели курс акций составил 60$, то есть рост составил 60/56=1.07. Стоимость акций увеличилась =(60/56)*F20 и стала составлять 808.39$. Рост стоимости облигаций постоянен и через неделю составил  1,00154 = exp^((1/52)0,008). Совокупная стоимость инвестиционного портфеля рассчитывается как сумма стоимости акций и облигаций на конец недели.

Моделирование страхования в Excel
Далее рассчитаем следующую неделю. Возьмем курс акции на начало недели 60$, тогда стоимость ИП на начало недели будет составлять 1054.27$.  Далее рассчитаем омегу (W0), и распределение капитала между акциями и облигациями. Предположим, что курс на конец недели снизился и составил 52$, стоимость пакета вложенного в акции сократится в 52/60 раз и составит 753.35$, пакет облигаций вырастет и составит 185.05$. Суммарная стоимость инвестиционного портфеля к концу недели составит 938.40$.

Моделирование страхования в Excel

Далее можно смоделировать изменение курса с помощью генератора случайных чисел из надстройки «Анализ данных» -> «Генератор случайных чисел».

Смоделируем различный курс акций и заполним далее таблицу. У нас получится следующая картина. Помимо расчетов долей для распределения акций и облигаций рассчитаем изменения доходности инвестиционного портфеля при пассивном управлении, то есть изменения стоимости портфеля при однократном вложении  без распределения средств между акциями и облигациями. В колонке «М» по формуле проведем расчет:

Стоимость ИП при пассивном управлении=M20+M20*(C21-B21)/B21;

Моделирование курса акции

Построим график изменения динамики инвестиционного портфеля с пассивным управлением и со страхованием с помощью облигаций по опционной модели Блэка –Шоулза. Как видно, при снижении стоимости акции, портфель с пассивным управлением копировал динамику стоимости акции, портфель же с использованием страхования показал меньшую просадку депозита.

Страхование убытков с помощью опционной модели

Если использовать страхование на растущем рынке, когда наблюдается рост стоимости акции, то использование данной схемы страхования снизит прибыль портфеля. На рисунке ниже, показана динамика портфеля с использованием страхования и без него.

Страхование на растущем рынке

Заключение: Использование страхования с помощью облигаций на основе модели опционного ценообразования Блэка –Шоулза позволяет значительно снизить просадки капитала. На растущем рынке, где значительных убытков не наблюдается, использование страховки отразится на меньшем росте такого портфеля, так как часть средств будет вложена в облигации, обладающих меньшей доходностью.

Теги:, , , , , , , ,

Trackback с вашего сайта.

Оставить комментарий

Войти

Новости

Изменить "Кол-во"
Ежедневный курс иностранной валюты ЦБ РФ на 15.10.2018
ВалютаКол-воРубль RUB
Продажа (руб.)
Доллар США USD
Евро EUR
Фунт стерлингов Соединенного королевства GBP
Use data from the cache